1. 적분의 의미

적분이란 미적분학의 가장 중요한 연산중의 하나로서 일변수 함수의 적분은 넓이와 부피를 계산하는 데 사용된다.

또한 두 개 이상의 변수를 가진 함수의 정적분과 곡선 위의 선적분, 곡면 위의 면적분 역시 여러 과학 분야에서 유용하게 사용되고 있다.

적분을 하는 것은 도함수의 원래 함수를 구하는 과정이라고 생각하면 된다.

즉, 적분과 미분은 서로 역연산 관계에 있다고 할 수 있다.

2. 의료에서의 적분의 쓰임

(1) 의학용 진단 장비의 원리에서 응용되는 적분

요즘 대부분의 큰 병원은 컴퓨터단층촬영기, 즉 CT(Computerized Tomography)를 비치하고 있다. CT는 신체를 해부하지 않고 그 내부를 촬영할 수 있는 의료진단 장비로서 인류에 크게 공헌하고 있다. CT가 병원에 처음 등장한 것은 그리 오래 된 일이 아니다. CT는 1971년 영국의 한 병 원에서 처음으로 임상에 쓰이기 시작했다. CT 를 만든 기술자 하운 스피드와 코르 맥은 그 공로를 인정받아 1979년 노벨 생리∙의학상을 수상했다. CT 속에 매 우 흥미로운 수학적 아이디어가 들어 있고, 그 아이디어가 CT가 세상에 등장하는 과학적 배경이 되기 때문이다.

이러한 적분은 CT, MRI, fMRI, 초음파 진단기 등의 의학용 진단 장비의 원리로 다양하게 응용될 수 있다. CT는 인체 부위마다 X선을 투과하는 양이 다른 성질을 이용하여 인체의 단면을 영상으로 구현한다. 적분이 이 CT에 어떻게 활용되었는지를 탐구하기 전에 먼저 CT에 대해서 알아야 한다. CT는 신체에 X선을 일정한 방향으로 쏘고, 이를 통과해 나온 X선의 강도를 측정한다. 즉 신체를 통과하는 동안 X선의 강도가 얼마나 감쇠했는가를 측정하는 것이다. 뼈처럼 밀도가 높은 부분을 통과할 때에는 X선의 강도가 많이 감쇠하고, 근육처럼 밀도가 낮은 부분을 통과할 때에는 적게 감쇠한다. 이제 이런 작업을 CT 장비를 돌리면서 모든 방향으로 수행하면, 모든 방향에서 X선 강도의 감쇠율 데이터를 얻을 수 있다. 그리고 이 데이터로부터 신체 내부 영상을 얻을 수 있는데, 우리는 바로 그 영상을 보는 것이다.

2차원 물체로 예를 들어보면 아래 그림처럼 파란 물건이 있다고 하고 그림에서 동그라미로 둘러싼 영역 내부는 밖에서 보이지 않는 상황이다.

<그림 1>

이 때, X선 사진을 여러 장 찍어 보이지 않는 물체의 위치 및, 모양을 알아내는 게 목표이다.

바깥에서 내부를 향해 일정 방향으로 X선을 쬐는데, 파란 부분에서는 일정 비율로 흡수가 일어나고, 나머지 부분은 통과한다고 하자. X선을 투입한 반대쪽에 X선 감지기를 달게 되면 X선이 얼마나 흡수되었는지 알 수 있을 것이다. 이때, X선이 지나간 길에 놓인 물체의 길이에 따라, 흡수된 양이 결정될 것이다.

예를 들어 아래쪽(0도 방향)에서 나란하게 X선을 쬐어 흡수된 양을 그래프로 나타내면 <그림 3>과 같을 것이다. X선이 지나간 부분의 길이를 그래프로 나타낸 것이다. 마찬가지로 X선 발생 장치를 회전시켜가며 투과시키면 그래프를 얻게 되는데, 예를 들어 45도, 90도 방향과 나란하게 쬐어 흡수된 양을 나타낸 그래프는 <그림 4>와 같을 것이다. 1도씩 회전하며 이런 식으로 사진을 찍었다면 모두 180개의 그래프를 얻을 것이다.

<그림2>

<그림3>

이처럼 여러 각도로 X선 사진을 찍어 얻은 그래프를 시각화한 것을 ‘사이노그램(Sinogram)’이라 부른다. 예를 들어 아래 사이노그램의 세로축을 보면 각이 주어져 있는데, 0도부터 180도까지 나와 있다. 각 각도마다 중심축을 기준으로 해당하는 그래프의 높이를 명암을 써서 시각화한 것이다. 이 그림에서 흰색에 가까울수록 흡수가 많이 되었다는 의미이다. 예를 들어 40도를 보면, 가장자리 쪽은 거의 흡수가 없는 반면에 중심 부분에서 흡수가 많이 일어난 것을 알 수 있다.

이러한 CT로 찍은 데이터인 사이노그램을 원래의 영상으로 복원하려면 적분을 이용해야 한다. 수학적으로 X선 흡수량은 적분값을 구하는 문제로 이해할 수 있다. 쉽게 말해 CT촬영시에 터널과 같은 둥근 기계에 사람의 몸이 들어갔다 나오면 무수히 나누어진 단면영상이 재구성되어 인체 내부를 3차원적인 모습으로 구현해 낼 수 있다는 것이다.

2) 심박출량 측정에 응용되는 적분

CT와 같은 의학용 진단 장비 뿐 만 아니라 적분은 심장의 건강 상태를 알아보는 심박출량을 측정하는 데 이용되기도 한다. 심박출량이란 단위 시간당 심장 박동에 의하여 심장 밖으로 내보내는 혈액의 양을 말하는데, 보통 심박출량을 측정하는 방법으로 염료희석법이 많이 쓰인다. 이는 염료로 사용되는 인도시아닌 그린 등의 추적 물질을 희석하는 방법이고 이러한 염료희석법에 적분이 응용된다.

혈액은 정맥을 통해 심장의 우심방으로 들어가 폐동맥을 거쳐 폐로 들어가 산소와 결합한다. 그리고 폐정맥을 거쳐 좌심방으로 들어가서 대동맥을 통해 다시 몸 전체로 전달된다. 염료희석법은 염료를 우심방으로 주입하여 염료가 심장을 거쳐 대동맥으로 들어가게 한다. 그리고 대동맥에서 심장을 떠나는 염료의 농도를 염색약이 모두 없어질 때까지 일정한 시간 간격으로 측정하여 염료의 양을 구하고, 이를 이용하여 심박출량을 계산하는 것이 염료희석법이다.

염료희석법의 계산과정을 설명하자면 주입되는 염료의 양을 라고 하고, 염료가 없어지는 데 걸리는 시간을  라고 하며, 대동맥에서 감지되는 시각 에서 염료의 농도를 라고 하면, 심박출량 는 이다. 따라서 심박출량을 계산하기 위해서는 적분을 이용해야 한다고 할 수 있다.

예를 들어, 5mg의 염료를 우심방에 주입하여 염료의 농도를 리터당 밀리그램으로 대동맥에서 1초 간격으로 아래의 표를 얻었다고 하면, 이때 염료의 농도는 시간이 흐를수록 점점 진해지다가 다시 약해져서 나중에는 0이 된다.

따라서 =5, =10이고 근사치로 =41.87라고 한 뒤에 대입해보면, 1초당 0.12L의 혈액을 온 몸에 공급하고 있음을 알 수 있다. 이렇게 적분이 심박출량을 측정하는 과정에서 응용된다.